公式汇总

单样本 T 检验

$$t=\frac{x-\mu }{s/\sqrt{n}}$$

自由度：$df=n-1$

成组样本的 T 检验

$$t=\frac{x_1-x_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$$

自由度：$df=n_1+n_2-2$

成对样本的 T 检验

$$t=\frac{\overline{d}}{s_d/\sqrt{n_d}}$$

其中，将成对数据作差 $d_i=x_{1i}-x_{2i}$

自由度：$df=N/2-1,\text{成对数-1}$

卡方检验

拟合优度检验

用来判断是否符合某种理论分布，比如孟德尔定律

$${\chi }^2=\frac{\sum (E_i-O_i{)}^2}{E_i}$$

预期值：$E_i$ 观测值：$O_i$

自由度：$df=k-1-m$

• $k$：分类类别数，对于孟德尔分离（3:1）来说就是 2；对于自由组合（9:3:3:1）来说就是 4
• $m$：需要估计的参数，对于上面的例子来说，不需要进行估计

独立性检验

用来判断两个样本是否相关，需要先画出列联表，其行为 $r$，列为 $c$

自由度：$df=(r-1)(c-1)$

连续性校正（$2\times 2$ 列联表）

当其中之一的 $E_i<5$ 时，需要进行连续性校正

$${\chi }^2=\frac{(|E_i-O_i|-0.5{)}^2}{E_i}$$

方差分析

单因素方差分析

校正因子 （$CT$）：

$$CT=\frac{T^2}{n}=n\times {\mu }^2$$

总体效应（$SST$）：

$$SST=\sum y_i^2-CT$$

组间效应（$SSB$）：

$$SSB=\sum \frac{T_i^2}{n}-CT$$

组内效应（$SSE$）：

$$SSE=SST-SSB$$

其中：

变异来源	自由度 (df)	平方和 (SS)	均方 (MS = SS/df)	F 值
组间（因素A）	$k-1$	SSA	$\text{MSA}=\frac{SSA}{k-1}$	$F=\frac{MSA}{MSE}$
组内（误差）	$N-k$	SSE	$\text{MSE}=\frac{SSE}{N-k}$	—
总体	$N-1$	SST = SSA + SSE	—	—

双因素方差分析

校正因子（$CT$）

$$CT=\sum \frac{T^2}{n}=n\times {\mu }^2$$

总体效应（$SST$）

$$SST=\sum {y_{ijk}}^2=CT$$

A 的组内效应（$SSA$）

$$SSA=\frac{1}{bn}\sum T_{i..}^2-CT$$

B 的组内效应（$SSB$）

$$SSB=\frac{1}{an}\sum T_{.j.}^2-CT$$

交互作用的效应（$SSAB$）

$$SSAB=\frac{1}{n}\sum T_{ij.}^2-SSA-SSB-CT$$

误差平方和（$SSE$）

$$SSE=SST-SSA-SSB-SSAB$$

一元线性回归

定义线性回归方程为：

$$\hat{y}=a+bx$$$$b=\frac{\sum x_i{y}_i-n\overline{X}\overline{Y}}{\sum x_i^2-n{\overline{X}}^2}$$$$a=\overline{Y}-b\overline{X}$$

检验是否满足

首先定义几个新的参数

$$S_{xx}=\sum x_i^2-\frac{{(\sum x_i)}^2}{n}$$$$S_{yy}=\sum {y_i}^2-\frac{{(\sum y_i)}^2}{n}$$$$S_{xy}=\sum (x_i{y}_i{)}^2-\frac{\sum x_i\sum y_i}{n}$$

其中：

$$SST=S_{yy}$$$$SSB=S_{yy}-b{S}_{xy}$$$$SSE=SST-SSB$$

之后按照单因素方差检验的方法去计算均差，其中 $SSB$ 的自由度为 $1$，$SSE$ 的自由度为 $n-2$，$SST$ 自由度为 $n-1$

$$F=\frac{MSB}{MSE}$$

零假设

检验类型	零假设 ($H_0$)	生物学含义
T检验	${\mu }_1={\mu }_2$	两组处理效果相同
配对T检验	${\mu }_d=0$	处理前后无变化
卡方检验	变量独立	无关联性
单因素ANOVA	${\mu }_1={\mu }_2=\cdots$	所有组处理效果相同
回归分析	${\beta }_1=0$	自变量不影响因变量
双因素ANOVA交互作用	无交互作用	两因素的效应相互独立